Назад Зміст Вперед

Задачі на обчислення елементів послідовності через попередні елементи

Послідовність – це сукупність чисел, кожне з яких має свій порядковий номер та утворюється за якоюсь формулою або правилом.

Приклад 1

Обчислимо, п'ять елементів послідовності

Для цього підставимо у формулу значення i= 1, 2, 3, 4, 5

a₁=1/1=1.00
a₂=1/2=0.50
a₃=1/3=0.33
a₄=1/4=0.25
a₅=1/5=0.20

Це дійсні числа 1 0.5 0.33 0.25 0.20

Програма

int i; double a;
cout << fixed; cout.precision(2);
for (i=1;i<=5;i++)
{
    a=1.0/i;
    cout <<a <<" ";
}

Пояснення коду:

• int i; double a; - оголошення змінних:
  • i - лічильник циклу (ціле число)
  • a - змінна для зберігання результату обчислень (число з плаваючою точкою)
• cout << fixed; cout.precision(2); - налаштування формату виводу:
  • fixed - фіксований формат виводу чисел
  • precision(2) - вивід з двома знаками після коми
• for (i=1;i<=5;i++) - цикл, що виконується 5 разів (від 1 до 5)
• a=1.0/i; - обчислення оберненого значення до i (1 поділити на поточне значення лічильника)
• cout <<a <<" "; - вивід результату з пробілом

Результат роботи програми: Виведе числа 1.00 0.50 0.33 0.25 0.20 (значення 1/i для i від 1 до 5 з точністю до двох знаків після коми)

Інші послідовності

Але таким чином можна обчислити елементи не для всіх послідовностей. Якщо у формулі для обчислення елемента a_i присутній один чи декілька попередніх елементів (a_i-1 або a_i-2), або формула для обчислення елементу послідовності містить факторіал, або словесно вказується, як обчислюється „наступний” елемент через „попередній”, то цей алгоритм не підходить.

Ми знаємо арифметичну і геометричну прогресію, послідовність Фібоначчі і інші

Арифметична прогресія

Кожне наступне число є сумою попереднього числа та числа 4

3 7 11 15 19 ...

Кожне наступне число є сумою попереднього числа та від’ємного числа -5

45 40 35 30 25 20 ...

Геометрична прогресія

Кожне наступне число є добутком попереднього числа та числа 2

3 6 12 24 48 96...

Кожне наступне число є добутком попереднього числа та числа 0.1

2000.0 200.0 20.0 2.0 0.2 0.02 ...

Факторіал

i!=1*2*3*…*i

Наприклад, 5!=1*2*3*4*5=120

Числа Фібоначчи

Перше і друге числа рівні 1. Кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх

1 1 2 3 5 8 13 21 34...

Правило обчислення елементів послідовності через один попередній

Приклад 2

Обчислимо, п'ять елементів послідовності

Програма

int i,a;
a=3;

for (i=2;i<=6;i++)
{
    cout << a << " ";
    a=a+4;
}

Пояснення коду:

• int i,a; - оголошення змінних:
  • i - лічильник циклу (ціле число)
  • a - змінна для зберігання та обчислення значень (ціле число)
• a=3; - ініціалізація змінної a значенням 3
• for (i=2;i<=6;i++) - цикл, що виконується для значень i від 2 до 6 включно (5 ітерацій)
• cout << a << " "; - виведення поточного значення змінної a з пробілом
• a=a+4; - збільшення значення a на 4 після кожної ітерації

Результат роботи програми: Виведе послідовність чисел 3 7 11 15 19 (кожне наступне число на 4 більше за попереднє)

Логіка роботи:

1. Початкове значення a = 3
2. Перша ітерація (i=2): виводить 3, a стає 7
3. Друга ітерація (i=3): виводить 7, a стає 11
4. Третя ітерація (i=4): виводить 11, a стає 15
5. Четверта ітерація (i=5): виводить 15, a стає 19
6. П'ята ітерація (i=6): виводить 19, a стає 23

Приклад 3

Дано ціле число n. Надрукувати n елементів послідовності

З визначення факторіала не видно, як можна обчислити i! через попереднє значення. Щоб отримати цю формулу виконаємо обчислення:

a₁=1!=1
a₂=2!=1*2=a₁*2=2
a₃=3!=1*2*3=a₂*3=6
a₄=4!1*2*3*4=a₃*4=24
a₅=5!=1*2*3*4*5=a₄*5=120

Звідси, формула:

a₁=1; a_i= a_i-1*i, при і=2,3, …

int i,a,n;
cin >> n;
a=1;
for (i=2;i<=n+1;i++)
{
    cout << a << " ";
    a=a*i;
}

Приклад роботи програми:

Якщо ввести n=5, програма виведе: 1 2 6 24 120

Математична логіка:

1. Початкове значення a = 1 (0! = 1)
2. Перша ітерація (i=2): виводить 1 (0!), a = 1*2 = 2 (1!)
3. Друга ітерація (i=3): виводить 2 (1!), a = 2*3 = 6 (2!)
4. Третя ітерація (i=4): виводить 6 (2!), a = 6*4 = 24 (3!)
5. Четверта ітерація (i=5): виводить 24 (3!), a = 24*5 = 120 (4!)
6. П'ята ітерація (i=6): виводить 120 (4!), a = 120*6 = 720 (5!)

Таким чином, програма виводить послідовність факторіалів чисел від 0 до n-1.

Приклад 4

Дано ціле число n. Надрукувати n елементів послідовності

Задача дуже схожа на попередню, але є одна важлива відмінність.

З формули видно, що вона складається з двох частин.

1. i!, накопичується, обчислюється через попередній елемент. Для нього потрібне початкове значення.
2. Обчислюється а = i! +2 (не накопичується). Початкового значення не має.

Тому для накопичення i! використовується одна змінна, а для обчислення елемента а послідовності інша змінна.

int i, a, n, f;
cin >> n; f=1;
for (i=2; i<=n+1; i++)
{
    a=f+2;
    cout << a << " ";
    f=f*i;
}

Приклад роботи програми:

Якщо ввести n=4, програма виведе: 3 4 8 26

Детальний розбір:

1. Початкові значення: n=4, f=1
2. Перша ітерація (i=2):
   • a = 1 + 2 = 3
   • Виведення: 3
   • f = 1 * 2 = 2
3. Друга ітерація (i=3):
   • a = 2 + 2 = 4
   • Виведення: 4
   • f = 2 * 3 = 6
4. Третя ітерація (i=4):
   • a = 6 + 2 = 8
   • Виведення: 8
   • f = 6 * 4 = 24
5. Четверта ітерація (i=5):
   • a = 24 + 2 = 26
   • Виведення: 26
   • f = 24 * 5 = 120

Математична логіка: Програма виводить послідовність значень (n-1)! + 2 для n від 1 до введеного значення.

Приклад 5

Дано ціле число n. Надрукувати n елементів послідовності

З формули не видно, як отримати наступний елемент через попередній. Виконаємо обчислення елементів, підставимо значення і у формулу:

a₁=3!=1*2*3=6
a₂=5!=1*2*3*4*5=3!*4*5=120
a₃=7!=1*2*3*4*5*6*7=5!*6*7=5040
a₄=9!=1*2*3*4*5*6*7*8*9=7!*8*9=362880

Звідси, формула:

a₁=6; a_i= a_i-1*2*i*(2*i+1), при і=2,3, …

Тобто, перший елемент, при і=1 a1=6;

Кожний наступний отримаємо помножаючи попередній на 2*i*(2*i+1)

int i,a,n;
cin >> n;
a=6;
for (i=2;i<=n+1;i++)
{
    cout << a << " ";
    a=a*(2*i+1)*(2*i);
}

Приклад роботи програми:

Для n=3 програма виведе: 6 180 37800

Детальний розбір:

1. Початкові значення: n=3, a=6
2. Перша ітерація (i=2):
   • Виведення: 6
   • a = 6*(2*2+1)*(2*2) = 6*5*4 = 120
3. Друга ітерація (i=3):
   • Виведення: 120
   • a = 120*(2*3+1)*(2*3) = 120*7*6 = 5040
4. Третя ітерація (i=4):
   • Виведення: 5040
   • a = 5040*(2*4+1)*(2*4) = 5040*9*8 = 362880

Математична закономірність:

Програма генерує послідовність чисел, де кожен наступний елемент обчислюється як попередній, помножений на (2i+1)*(2i), де i - номер ітерації. Початкове значення 6 = 3! (факторіал 3).

Послідовність можна представити як добутки факторіалів непарних чисел:

• 6 = 3!
• 180 = 3! × 5 × 4
• 37800 = 3! × 5 × 4 × 7 × 6
• і так далі...

Приклад 6

Дано ціле число n. Надрукувати n елементів послідовності

Результат можна отримати діленням 1 на відповідний елемент послідовності

int i,n,f=6; double a;
cin >> n;cout << fixed;
cout.precision(8);
for (i=2; i<=n+1;i++)
{
    a=1.0/f;
    cout << a << " ";
    f=f*(2*i+1)*(2*i);
}

Пояснення коду:

• int i,n,f=6; double a; - оголошення змінних:
  • i - лічильник циклу
  • n - кількість елементів для обчислення
  • f - знаменник (ініціалізований як 6)
  • a - результат обчислення (1/f)
• cin >> n; cout << fixed; - введення n та встановлення фіксованого формату виводу
• cout.precision(8); - встановлення точності виводу до 8 знаків після коми
• for (i=2; i<=n+1;i++) - цикл для обчислення n елементів
• a=1.0/f; - обчислення поточного елементу послідовності
• cout << a << " "; - виведення результату
• f=f*(2*i+1)*(2*i); - оновлення знаменника для наступної ітерації

Приклад роботи (n=3):

Виведе: 0.16666667 0.00555556 0.00002646

Математична суть:

1. Початковий елемент: 1/6 ≈ 0.16666667
2. Другий елемент: 1/(6×5×4) = 1/120 ≈ 0.00833333
3. Третій елемент: 1/(120×7×6) = 1/5040 ≈ 0.00019841
4. Четвертий елемент: 1/(5040×9×8) = 1/362880 ≈ 0.00000276

Зв'язок з математичними рядами:

Ця послідовність пов'язана з оберненими факторіалами та може бути використана для обчислення деяких спеціальних функцій у математиці.

Форматування виводу:

• Використовується фіксований формат з 8 знаками після коми
• Між значеннями вставляються пробіли

Приклад 7

Дано натуральне число n. Надрукувати n чисел, що створюють послідовність Фібоначчи:

f₁=1; f₂=1; f_i=f_i-2+f_i-1; i=3,4,5...

В цій формулі для обчислення елементів послідовності видно, що кожний елемент, починаючи з третього, обчислюється через два попередніх (f_i-1 та f_i-2 ).

Правило обчислення елементів послідовності через два попередніх

Результат роботи програми

Змінні:

Вхідні:

• n – кількість чисел (цілого типу)

Вихідні:

• f1– „перше попереднє” число (цілого типу, за умовою)
• f2– „друге попереднє” число (цілого типу, за умовою)
• f3– „наступне число” (цілого типу, за умовою)

Проміжні:

• i – параметр циклу (цілого типу)

Алгоритм

1. Спочатку вводимо n – кількість чисел, що потрібно обчислити та вивести на екран.
2. До початку циклу присвоїмо початкові значення двом попереднім елементам: змінним f1 та f2. Вони співпадають з двома першими числами послідовності та дорівнюють 1.
3. Виводимо на екран «перше попереднє» число.
4. У циклі будемо виконувати такі дії:
   1. Виводимо на екран «друге попереднє» число.
   2. Оператор f3=f1+f2 обчислює „наступне” число.
   3. Перед переходом на наступний виток циклу, „друге попереднє” число повинно стати „першим попередним” f1=f2, а „наступне” число повинно стати „другим попереднім” f2=f3.

int i,n,f1,f2,f3;
cin >> n;
f1=1; cout << f1 << " ";
f2=1;
for (i=2;i<=n;i++)
{
    cout << f2 << " ";
    f3=f1+f2;
    f1=f2; f2=f3;
}

Пояснення коду:

• int i,n,f1,f2,f3; - оголошення змінних:
  • i - лічильник циклу
  • n - кількість чисел послідовності для виведення
  • f1, f2, f3 - змінні для обчислення чисел Фібоначчі
• cin >> n; - введення кількості чисел
• f1=1; cout << f1 << " "; - ініціалізація та виведення першого числа (1)
• f2=1; - ініціалізація другого числа
• for (i=2;i<=n;i++) - цикл для генерації та виведення чисел
• cout << f2 << " "; - виведення поточного числа
• f3=f1+f2; - обчислення наступного числа як суми двох попередніх
• f1=f2; f2=f3; - оновлення значень для наступної ітерації

Приклад роботи (n=7):

Виведе: 1 1 2 3 5 8 13

Хід виконання:

Особливості:

• Генерує послідовність Фібоначчі
• Виводить перші n чисел послідовності
• Починається з двох одиниць (1, 1, 2, 3, 5...)
• Використовує три змінні для обчислення наступного числа

Варіанти задач

Варіант 1

1. Надрукуйте у рядок 10 чисел з 1 знаком після крапки, якщо перше число 0.5, а кожне наступне число є сумою попереднього та числа 3.5.
2. Дано натуральне n. Надрукувати n чисел a_i=2*i!, де i=1, 2, ...n.

Варіант 2

1. Надрукуйте у рядок 10 чисел з 3 знаками після крапки, якщо перше число 1, а кожне наступне число є добутком попереднього та 0.5.
2. Дано натуральне n. Надрукувати n чисел a_i=(i+1)! , де i=1, 2, ...n.

Варіант 3

1. Надрукуйте у рядок 10 чисел з 3 знаками після крапки, якщо перше число 5, а кожне наступне число є добутком попереднього та дійсного числа b.
2. Дано натуральне n. Надрукувати n чисел a_i=(2*i)! , де i=1, 2, ...n.

Варіант 4

1. Надрукуйте у рядок 10 чисел з 1 знаком після крапки, якщо перше число 1000, а кожне наступне число є добутком попереднього та числа 0.5.
2. Дано натуральне n. Надрукувати n чисел a_i=(2*i-1)! , де i=1, 2, ...n.

Варіант 5

1. Дано натуральне n. Надрукувати n чисел: a₁=1, a_i=2*a_i-1+1 де i=2,3...n
2. Дано натуральне n. Надрукувати з 5 знаками після крапки n чисел:

   

Варіант 6

1. Дано натуральне n. Надрукувати n чисел: a₁=1, a_i=3*a_i-1+2 де i=2,3...n
2. Дано натуральне n. Надрукувати з 7 знаками після крапки n чисел:

   

Варіант 7

1. Дано натуральне n. Надрукувати з 2 знаками після крапки n чисел:

   

2. Дано натуральне n. Надрукувати з 7 знаками після крапки n чисел:

   

Варіант 8

1. Дано натуральне n. Надрукувати з 4 знаками після крапки n чисел:

   

2. Дано натуральне n. Надрукувати з 5 знаками після крапки n чисел:

   

Варіант 9

1. Дано натуральне n. Надрукувати з 4 знаками після крапки n чисел:

   

2. Дано натуральне n. Надрукувати з 5 знаками після крапки n чисел:

   

Варіант 10

1. Дано натуральне n. Надрукувати з 2 знаками після крапки n чисел:

   

2. Дано натуральне n та дійсне х. Надрукувати з 5 знаками після крапки n чисел:

   

Варіант 11

1. Дано натуральне n. Надрукувати з 6 знаками після крапки n чисел:

   

2. Дано натуральне n та дійсне х. Надрукувати з 5 знаками після крапки n чисел:

   

Варіант 12

1. Дано натуральне n. Надрукувати з 6 знаками після крапки n чисел:

   

2. Дано натуральне n та дійсне х. Надрукувати з 5 знаками після крапки n чисел:

   

Варіант 13

1. Дано натуральне n. Надрукувати з 6 знаками після крапки n чисел:

   

2. Дано натуральне n та дійсне х. Надрукувати з 5 знаками після крапки n чисел:

   

Варіант 14

1. Дано натуральне n. Надрукувати з 4 знаками після крапки n чисел:

   

2. Дано натуральне n. Надрукувати з 5 знаками після крапки n чисел:

   

Варіант 15

1. Дано натуральне n. Надрукувати з 5 знаками після крапки n чисел:

   

2. Послідовність u₁, u₂, u₃, ... утворюється за законом u₁=0; u₂=1; u_i=u_i-2+u_i-1+f_i (i=3,4, ...), де f_i відповідний член послідовності Фібоначчі (f₁=1; f₂=1; f₃=2; f₄=3; f₅=5;...). Дано натуральне число n. Надрукуйте послідовність u₁, u₂, u₃,..., u_n (0 1 3 7 15 30...).

Варіант 16

1. Послідовність u₁, u₂, u₃, ... утворюється за законом u₁=0; u₂=1; u_i=u_i-2+u_i-1+f_i-1 (i=3,4, ...), де f_i-1 відповідний член послідовності Фібоначчі (f₁=1; f₂=1; f₃=2; f₄=3; f₅=5;...). Дано натуральне число n. Надрукуйте послідовність u₁, u₂, u₃,..., u_n (0 1 2 5 10 20 ...).
2. Дано натуральне n. Надрукуйте з 6 знаками після крапки послідовність чисел n чисел:

   

Варіант 17

1. Послідовність u₁, u₂, u₃, ... утворюється за законом u₁=0; u₂=1; u_i=u_i-2+u_i-1+f_i-2 (i=3,4, ...), де f_i-2 відповідний член послідовності Фібоначчі (f₁=1; f₂=1; f₃=2; f₄=3; f₅=5;...). Дано натуральне число n. Надрукуйте послідовність u₁, u₂, u₃,..., u_n (0 1 2 4 8 15 ...).
2. Дано натуральне n. Надрукуйте з 3 знаками після крапки послідовність чисел n чисел:

   

Назад Зміст Вперед